Question

（本小题共8分）

提高二环路的车辆通行能力可有效改善整个城区的交通状况，在一般情况下，二环路上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数。当二环路上的车流密度达到600辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过60辆/千米时，车流速度为80千米/小时，研究表明：当60≤x≤600时，车流速度v是车流密度x的一次函数。

（Ⅰ）当0≤x≤600时，求函数f（x）的表达式；

（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过二环路上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x·v（x）可以达到最大，并求出最大值。（精确到1辆/小时）

 

Answer 1

【答案】

(1) f（x）=

(2) 当车流密度为300辆/千米时，车流量达到最大值，约为13333辆/小时.

【解析】

试题分析：解：（Ⅰ）由题意：当0≤x≤60时，v（x）=80；

当60≤x≤600时，设v（x）=ax+b，显然v（x）=ax+b在[60，600]是减函数，

由已知得，解得

故函数v（x）的表达式为v（x）=            4分

（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得f（x）=

当0≤x≤60时，f（x）为增函数，故当x=60时，其最大值为60×80=4800；

当60≤x≤600时，f（x）= ≤，

当且仅当x=300时，等号成立.

所以，当x=300时，f（x）在区间[60，600]上取得最大值.

综上，当x=300时，f（x）在区间[0，600]上取得最大值≈13333，

即当车流密度为300辆/千米时，车流量达到最大值，约为13333辆/小时.    8分

考点：函数的实际运用

点评：解决该试题的关键是对于实际问题能翻译为代数式，同时能结合函数的性质得到最值。属于基础题。