Question

12．四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，$∠DAB=\frac{π}{3}$，PD⊥底面ABCD，AB=PD=a，P、B、C、D，四点能否在一个球面上（不要证明）；
（1）求异面直线PA与CD成角的余弦值；
（2）求三棱锥ABCP的体积．

Answer 1

分析 （1）根据异面直线所成角的定义进行转化，结合三角形的余弦定理进行求解即可．
（2）求出三棱锥的高和底面积，结合三棱锥的体积公式进行求解即可．

解答 解：（1）∵底面ABCD为菱形，$∠DAB=\frac{π}{3}$，PD⊥底面ABCD，AB=PD=a，
∴连接BD，则BD=a，
即PD=BD=CD=a，
即、B、C、D，四点可以在一个球面上，其中D为球心，PD的长为半径．
∵PD⊥底面ABCD，AB=PD=a，
∴PA=$\sqrt{2}$a，PB=$\sqrt{2}$a，
∵AB∥CD，
∴PA与AB所成的角即可异面直线PA与CD成的角，
在三角形PAB中，cos∠PAB=$\frac{P{A}^{2}+A{B}^{2}-P{B}^{2}}{2PA•AB}$
=$\frac{2{a}^{2}+{a}^{2}-2{a}^{2}}{2×\sqrt{2}a•a}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
即异面直线PA与CD成角的余弦值是$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
（2）∵PD⊥底面ABCD，
∴三棱锥ABCP的高为PD=a，
∵底面ABCD为菱形，$∠DAB=\frac{π}{3}$，AB=a，
∴OB=$\frac{1}{2}$a，OA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
则AC=2OA=$\sqrt{3}$a，
则三角形ABC的面积S=$\frac{1}{2}AC•OB$=$\frac{1}{2}•\sqrt{3}a•\frac{1}{2}a$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a，
则三棱锥ABCP的体积V=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$a×a=$\frac{\sqrt{3}}{12}$a²．

点评 本题主要考查异面直线所成角的求解以及三棱锥体积的计算，根据异面直线所成角的定义以及三棱锥的体积公式是解决本题的关键．