Question

20．如图，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n）（0＜y₁＜y₂＜…＜y_n）是曲线C：y²=3x（y≥0）上的n个点，点A_i（a_i，0）（i=1，2，3，…，n）在x轴的正半轴上，且△A_i-1A_iP_i是正三角形（A₀是坐标原点）．
（1）求a₁，a₂，a₃的值，并猜想a_n的表达式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想．

Answer 1

分析 1）由题意可知直线A₀P₁为y=$\sqrt{3}$x，然后与y²=3x联立可得到P₁的坐标，再由△A₀A₁P₁是正三角形可得到A₁的坐标得到a₁的值，同理可得到a₂、a₃．
（2）先根据题意可得到关系 ${x_n}=\frac{{{a_{n-1}}+{a_n}}}{2}$，${y_n}=\sqrt{3}•\frac{{{a_n}-{a_{n-1}}}}{2}$，然后根据y_n²=3x_n得（a_n-a_n-1）²=2（a_n-1+a_n），从而可猜想数列通项公式a_n=n（n+1），再由数学归纳法证明即可．

解答 J解：（1）a₁=2，a₂=6，a₃=12；由此猜想：a_n=n（n+1），
（2）依是意，得${x_n}=\frac{{{a_{n-1}}+{a_n}}}{2}$，${y_n}=\sqrt{3}•\frac{{{a_n}-{a_{n-1}}}}{2}$，
由此及$y_n^2=3{x_n}$得：${（\sqrt{3}•\frac{{{a_n}-{a_{n-1}}}}{2}）^2}=\frac{3}{2}（{a_n}+{a_{n-1}}）$，
即${（{a_n}-{a_{n-1}}）^2}=2（{a_{n-1}}+{a_n}）$．  
下面用数学归纳法证明猜想：
①当n=1时，猜想显然成立．
②假设当n=k（k∈N^*）时，猜想成立，即a_k=k（k+1），则当n=k+1时，
∵${（{a_{k+1}}-{a_k}）^2}=2（{a_k}+{a_{k+1}}）$，
∴${[{a_{k+1}}-k（k+1）]^2}=2[k（k+1）+{a_{k+1}}]$，
即${a_{k+1}}^2-2（{k^2}+k+1）{a_{k+1}}+[k（k+1）]•[（k+1）（k+2）=0$，
解得a_k+1=（k+1）（k+2）（a_k+1=k（k-1）＜a_k不合题意，舍去）
即当n=k+1时，猜想也成立．                                         
由①②可知，对一切的n∈N^*猜想均成立．

点评 本题主要考查求数列通项公式、数列的单调性问题以及二次函数的恒成立问题，考查综合运用能力．