Question

3．S=1+$\frac{1}{1+2}$+$\frac{1}{1+2+3}$+…+$\frac{1}{1+2+…+2016}$=$\frac{4032}{2017}$．

Answer 1

分析 求出数列的通项公式，然后求解数列的和．

解答 解：∵1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$\frac{1}{1+2+3+…+n}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）．
∴S=1+$\frac{1}{1+2}$+$\frac{1}{1+2+3}$+…+$\frac{1}{1+2+…+2016}$=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2015}-\frac{1}{2016}$+$\frac{1}{2016}$$-\frac{1}{2017}$）
=2-$\frac{2}{2017}$
=$\frac{4032}{2017}$．
故答案为：$\frac{4032}{2017}$．

点评 本题考查裂项法求解数列的和的方法的应用，考查转化思想以及计算能力．