Question

已知函数f（x）=x2﹣alnx，a∈R．

（Ⅰ）当a=4时，求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x的值；

（Ⅱ）若存在x∈[2，e]，使得f（x）≥（a﹣2）x成立，求实数a的取值范围．

 

Answer 1

（1）函数f（x）在[1，e]上的最小值为﹣3，相应的x的值为e ； (2) [，+∞）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）a=4时，f（x）=x2﹣4lnx，由=0，得x=，或x=﹣（舍），

∵f（1）=1﹣4ln1=1，f（）=1﹣4ln=1﹣2ln2，f（e）=1﹣4lne=﹣3，

∴函数f（x）在[1，e]上的最小值为﹣3，相应的x的值为e．

（Ⅱ）f（x）≥（a﹣2）x等价于a（x+lnx）≤x2+2x，转化为a≤，x∈[2，e]恒成立问题，

令g（x）=，x∈[2，e]，求出该函数在区间内的最小值，即可得出结果.

试题解析：（Ⅰ）a=4时，f（x）=x2﹣4lnx，

∴f（x）的定义域为x＞0，

，

由=0，得x=，或x=﹣（舍），

∵f（1）=1﹣4ln1=1，

f（）=1﹣4ln=1﹣2ln2，

f（e）=1﹣4lne=﹣3，

∴函数f（x）在[1，e]上的最小值为﹣3，相应的x的值为e．

（Ⅱ）f（x）≥（a﹣2）x等价于a（x+lnx）≤x2+2x，

∵x∈[2，e]，∴x+lnx＞0，

∴a≤，x∈[2，e]，

令g（x）=，x∈[2，e]，

=，

当x∈[2，e]时，x+1＞0，lnx≤1，x﹣2+2lnx＞0，

从而g′（x）≥0（仅当x=1时取等号），所g（x）在[2，e]上为增函数，

故g（x）的最小值为g（2）=，所以a的取值范围是[，+∞）．

考点：导数的综合题.