Question

12．奇函数f（x）在（0，+∞）内单调递增且f（2）=0，则不等式$\frac{f（x）}{x-1}＞0$的解集为（　　）

• A． （-∞，-2）∪（0，1）∪（1，2）
• B． （-2，0）∪（1，2）
• C． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• D． （-∞，-2）∪（0，1）∪（2，+∞）

Answer 1

分析 通过当x＞1时，f（x）在（0，+∞）内单调递增，又f（2）=0，则f（x）＞0=f（2），当0＜x＜1时，f（x）＜0，又函数f（x）为奇函数，求出x＜0时不等式的解集，进而求出不等式$\frac{f（x）}{x-1}＞0$的解集即可．

解答 解：当x＞1时，f（x）在（0，+∞）内单调递增，
又f（2）=0，则f（x）＞0=f（2），∴x＞2．
当0＜x＜1时，f（x）＜0，解得：0＜x＜1，
又函数f（x）为奇函数，
则f（-2）=0且f（x）在（-∞，0）内单调递增，
则当x＜0时，f（x）＜0=f（-2），∴x＜-2，
综上所述，x＞2或0＜x＜1或x＜-2，
故选：D

点评 本题考查了奇函数的性质、函数单调性，还考查了分类讨论、数形结合的数学思想，本题有一定的思维难度，属于中档题．