题目内容
13．已知函数$f（x）=lnx+\frac{a}{x}-1$，其中a为参数，（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[1，e]时，求函数f（x）的最小值．
分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，得到函数的单调区间；
（Ⅱ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可．
解答 解：（Ⅰ）a=1时，$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{x-1}{x^2}$，定义域为（0，+∞），
令f'（x）=0，得x=1，f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：
| x | （0，1） | 1 | （1，+∞） |
| f'（x） | - | 0 | + |
| f（x） | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
（Ⅱ）依题意得 $f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{a}{x^2}=\frac{x-a}{x^2}$，x∈[1，e]…（6分）
当a≤0时，f'（x）＞0，所以f（x）在区间[1，e]上单调递增，
所以，f（x）在区间[1，e]上 的最小值为f（1）=a-1，…（7分）
当a＞0时，令f'（x）=0，则x=a，
①若a≥e，则f'（x）＜0对x∈[1，e]成立，则f（x）在区间[1，e]上单调递减，
所以，f（x）在区间[1，e]上的最小值为$f（e）=\frac{a}{e}$，…（8分）
②若1＜a＜e，则有
| x | （1，a） | a | （a，e） |
| f'（x） | - | 0 | + |
| f（x） | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
③若a≤1，则f'（x）＞0对x∈[1，e]成立，
所以f（x）在区间[1，e]上单调递增，
所以，f（x）在区间[1，e]上的最小值为f（1）=a-1，…（11分）
综上得：$f{（x）_{min}}=\left\{\begin{array}{l}f（1）=a-1，a≤1\\ f（a）=lna，1＜a＜e\\ f（e）=\frac{a}{e}，a≥e\end{array}\right.$…（12分）
点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．
练习册系列答案
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