Question

2．已知函数f（x）=xsinx+cosx．
（1）当$x∈（\frac{π}{4}，π）$时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若存在$x∈（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$，使得f（x）＞kx²+cosx成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论x的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）分离参数，问题转化为$k＜\frac{sinx}{x}$．令$h（x）=\frac{sinx}{x}$，则$h'（x）=\frac{xcosx-sinx}{x^2}$，根据函数的单调性求出h（x）的最大值，从而求出k的范围即可．

解答 解：（ 1）f'（x）=sinx+xcosx-sinx=xcosx，…（2分）
∴$x∈（{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}）$时，f'（x）=xcosx＞0，
∴函数f（x）在$（{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}）$上是增函数；
$x∈（{\frac{π}{2}，π}）$时，f'（x）=xcosx＜0，
∴函数f（x）在$（{\frac{π}{2}，π}）$上是减函数；  …（5分）
（ 2）由题意等价于xsinx+cosx＞kx²+cosx，整理得$k＜\frac{sinx}{x}$．
令$h（x）=\frac{sinx}{x}$，则$h'（x）=\frac{xcosx-sinx}{x^2}$，
令g（x）=xcosx-sinx，g'（x）=-xsinx＜0，
∴g（x）在$x∈（\frac{π}{4}\;，\;\;\frac{π}{2}）$上单调递减，
∴$g（x）＜g（\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}×（\frac{π}{4}-1）＜0$，即g（x）=xcosx-sinx＜0，…（10分）
∴$h'（x）=\frac{xcosx-sinx}{x^2}＜0$，即$h（x）=\frac{sinx}{x}$在$（\frac{π}{4}\;，\;\;\frac{π}{2}）$上单调递减，
∴$h（x）＜\frac{{sin\frac{π}{4}}}{{\frac{π}{4}}}=\frac{{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}{{\frac{π}{4}}}=\frac{{2\sqrt{2}}}{π}$，即$k＜\frac{{2\sqrt{2}}}{π}$．           …（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．