Question

18．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与直线y=-2的两个相邻公共点之间的距离等于π．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若x∈[${\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}}$]，求函数f（x）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）对函数f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx（ω＞0）化简；因为f（x）的图形与y=-2的两个相邻公共点之间的距离等于π，得知：T=π．
（2）令 t=2x$+\frac{π}{6}$，t∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]；h（t）=2sint在[$\frac{2π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]上单调递减，从而求得f（x）的取值范围．

解答 解：（1）对函数f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cosωx（ω＞0）化简得：
f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$），f（x）_min=-2
又因为f（x）的图形与y=-2的两个相邻公共点之间的距离等于π，得知：T=π
∴ω=$\frac{2π}{T}$=2
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）
（2）∵x∈[${\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}}$]，∴$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{7π}{6}$
令 t=2x$+\frac{π}{6}$，t∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{7π}{6}$]；
h（t）=2sint在[$\frac{π}{2}$，$\frac{7π}{6}$]上单调递减，
所以，h（t）∈[-1，2]．
故f（x）的取值范围为：[-1，2]．

点评 本题主要考查了三角函数的化简、图形特征以及函数的单调性求法，属基础题．