题目内容

已知△ABC的顶点B（-1，-3），AB边上的高线CE所在直线的方程为x-3y-1=0，BC边上中线AD所在直线的方程为8x+9y-3=0．
（1）求直线AC的方程；
（2）求三角形面积．
考点：直线的一般式方程,三角形的面积公式
专题：直线与圆
分析：（1）根据垂直关系算出直线CE的斜率，利用点斜式给出直线AB方程并整理，得AB方程为3x+y+6=0．由AD方程与AB方程联解，可得A（-3，3），结合中点坐标公式解方程组算出C（4，1）．最后用直线方程的两点式列式，整理即得直线AC的方程．
（2）由A（-3，3），B（-1，-3），C（4，1），得
AB
=（2，-6），
AC
=（7，-2），先求出cos＜
AB
，
AC
＞，再求出sin＜
AB
，
AC
＞=
1-(
13
265
)2
=
4
6
265
，由此利用公式S△ABC=
1
2
|
AB
|•|
AC
|•sin＜
AB
，
AC
＞，能求出三角形面积．
解答： 解：（1）∵CE⊥AB，且直线CE的斜率为
1
3
，
∴直线AB的斜率k=
-1
1
3
=-3，
∴直线AB的方程为y+3=-3（x+1），即3x+y+6=0，
由
3x+y+6=0
8x+9y-3=0
，解得
x=-3
y=3
，
∴A点的坐标为（-3，3），
设D（a，b），可得C（2a+1，2b+3）
∴
8a+9b-3=0
2a+1-3(2b+3)-1=0
，解得
a=
3
2
b=-1
，
因此D（
3
2
，-1），从而可得C（4，1），
∴直线AC的方程为：
y-3
1-3
=
x+3
4+3
，
化简整理，得直线AC的方程为：2x+7y-15=0．
（2）由（1）得A（-3，3），B（-1，-3），C（4，1），
∴
AB
=（2，-6），
AC
=（7，-2），
∴cos＜
AB
，
AC
＞=
26
40
•
53
=
13
265
，∴sin＜
AB
，
AC
＞=
1-(
13
265
)2
=
4
6
265
，
∴S△ABC=
1
2
|
AB
|•|
AC
|•sin＜
AB
，
AC
＞=
1
2
×
40
×
53
×
4
6
265
=4
6
．
∴三角形面积为4
6
．
点评：本题考查直线方程的求法，考查三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
练习册系列答案
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∫
1
0
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执行如图所示的程序框图，则输出的结果是
 
；
已知函数f（x）=
3
acos2
ωx
2
+
1
2
asinωx-
3
2
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8
3
5
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10
3
，
2
3
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AB
•
AC
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AB
和
AC
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π
4
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3
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π
6
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3
3
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π
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1
2
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A、充分不必要条件
B、必要不充分条件
C、充要条件
D、即非充分又非必要条件

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