Question

3．对任意的实数m，n，当0＜n＜m＜$\frac{1}{a}$，恒有$\frac{\root{m}{n}}{\root{n}{m}}$＞$\frac{{n}^{a}}{{m}^{a}}$成立，则实数a的最小值为1．

Answer 1

分析 由条件化简可得原不等式即为n${\;}^{\frac{1}{m}-a}$＞m${\;}^{\frac{1}{n}-a}$，可得lnn${\;}^{\frac{1}{m}-a}$＞lnm${\;}^{\frac{1}{n}-a}$，可得$\frac{lnm}{\frac{1}{m}-a}$＜$\frac{lnn}{\frac{1}{n}-a}$，设f（x）=$\frac{lnx}{\frac{1}{x}-a}$，求出导数，由题意可得f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）递减，再由f′（x）≤0恒成立，即可求得a的最小值．

解答 解：由0＜n＜m＜$\frac{1}{a}$，
$\frac{\root{m}{n}}{\root{n}{m}}$＞$\frac{{n}^{a}}{{m}^{a}}$即为$\frac{{n}^{\frac{1}{m}}}{{n}^{a}}$＞$\frac{{m}^{\frac{1}{n}}}{{m}^{a}}$，
即有n${\;}^{\frac{1}{m}-a}$＞m${\;}^{\frac{1}{n}-a}$，
可得lnn${\;}^{\frac{1}{m}-a}$＞lnm${\;}^{\frac{1}{n}-a}$，
即有（$\frac{1}{m}$-a）lnn＞（$\frac{1}{n}$-a）lnm恒成立，
由$\frac{1}{n}$-a＞$\frac{1}{m}$-a＞0，可得
$\frac{lnm}{\frac{1}{m}-a}$＜$\frac{lnn}{\frac{1}{n}-a}$，
设f（x）=$\frac{lnx}{\frac{1}{x}-a}$，则f′（x）=$\frac{\frac{1}{x}（\frac{1}{x}-a）+lnx•\frac{1}{{x}^{2}}}{（\frac{1}{x}-a）^{2}}$，
由0＜n＜m＜$\frac{1}{a}$，可得f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）递减，
可得f′（x）≤0恒成立，即为
$\frac{1}{x}$（$\frac{1}{x}$-a）+lnx•$\frac{1}{{x}^{2}}$≤0，
即有a≥$\frac{1+lnx}{x}$恒成立，
由g（x）=$\frac{1+lnx}{x}$的导数为g′（x）=$\frac{1-（1+lnx）}{{x}^{2}}$=-$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，
当$\frac{1}{a}$≤1即a≥1时，g（x）递增，a≥$\frac{1+ln\frac{1}{a}}{\frac{1}{a}}$，
即1≥1-lna，显然成立；
当$\frac{1}{a}$≥1即0＜a≤1时，可得x=1处取得最大值1，即a≥1，
显然a=1不恒成立．
综上可得a的最小值为1．
故答案为：1．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用转化思想和构造函数法，运用导数判断单调性，考查化简整理的运算能力，属于难题．