Question

6．用[x]表示不超过实数x的最大整数，{x_n}定义如下：x₁=$\frac{1}{2}$，x_k+1=x_k²+x_k（k∈N^*），则[$\frac{1}{{x}_{1}+1}$+$\frac{1}{{x}_{2}+1}$+…+$\frac{1}{{x}_{100}+1}$]=1．

Answer 1

分析 由x_k+1=x_k²+x_k（k∈N^*），可得：$\frac{1}{{x}_{k}+1}$=$\frac{1}{{x}_{k}}-\frac{1}{{x}_{k+1}}$．于是$\frac{1}{{x}_{1}+1}$+$\frac{1}{{x}_{2}+1}$+…+$\frac{1}{{x}_{100}+1}$=2-$\frac{1}{{x}_{101}}$，另一方面：x₁=$\frac{1}{2}$，x_k+1=x_k²+x_k（k∈N^*），可得x_n+1=x_n（x_n+1）＞x_n＞1，（n≥2）．进而得出答案．

解答 解：∵x_k+1=x_k²+x_k（k∈N^*），∴$\frac{1}{{x}_{k}+1}$=$\frac{1}{{x}_{k}}-\frac{1}{{x}_{k+1}}$．
∴$\frac{1}{{x}_{1}+1}$+$\frac{1}{{x}_{2}+1}$+…+$\frac{1}{{x}_{100}+1}$=$（\frac{1}{{x}_{1}}-\frac{1}{{x}_{2}}）$+$（\frac{1}{{x}_{2}}-\frac{1}{{x}_{3}}）$+…+$（\frac{1}{{x}_{100}}-\frac{1}{{x}_{101}}）$=2-$\frac{1}{{x}_{101}}$
则[$\frac{1}{{x}_{1}+1}$+$\frac{1}{{x}_{2}+1}$+…+$\frac{1}{{x}_{100}+1}$]=$[2-\frac{1}{{x}_{101}}]$，
∵x₁=$\frac{1}{2}$，x_k+1=x_k²+x_k（k∈N^*），∴x_n+1=x_n（x_n+1）＞x_n＞1，（n≥2）．
因此数列{x_n}单调递增，∴$\frac{1}{{x}_{101}}$∈（0，1）．
∴$[2-\frac{1}{{x}_{101}}]$=1，
故答案为：1．

点评 本题考查了递推关系、“裂项求和”方法、取整函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．