Question

求下列函数的值域：

（1）y=4-

3+2x-x2

          （2）y=

1-x

2x+5

          （3）y=x-

1-2x

          （4）y=

1+2x

1-2x

（5）y=

3x

x2+4

      （6）y=2^x+2-3•4^x，（-1≤x≤0）（7）y=（log₂

x

4

）•（log 

2

（2x）），（x≥1）

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）直接利用换元法求出函数的值域．
（2）利用反函数法求出结果．
（3）利用换元法和二次函数法求出结果．
（4）利用反函数法和指数函数的值域求出结果．
（5）利用基本不等式和恒等变换法求出结果．
（6）利用整体换元法和二次函数法求出结果．
（7）利用整体换元法和二次函数法求出结果．

解答： 解：（1）y=4-

3+2x-x2

=4-

-(x-1)2+4

由于

3+2x-x2

≥0
所以：函数y_max=4
当x=1时，-（x-1）²+4的最大值为4
所以

3+2x-x2

max=2
则函数y_min=2
所以函数的值域为：y∈[2，4]
（2）y=

1-x

2x+5

转化为：x=

1-5y

2y+1

由于2y+1≠0
所以：y≠-

1

2

所以函数的值域为：{y|y≠-

1

2

}
（3）y=x-

1-2x

   
设

1-2x

=t(t≥0)
所以y=-

t2

2

-t+

1

2

=-

1

2

(t+1)2+1
函数为对称轴t=-1的抛物线
由于t≥0
所以函数在t≥0为单调递减函数．
当t=0是函数的最大值为：ymax=

1

2

所以：函数的值域为：{y|y≤

1

2

}
（4）y=

1+2x

1-2x

转化为：2x=

y-1

y+1

由于2^x＞0
所以：

y-1

y+1

＞0
解分式不等式得：y＞1或y＜-1
所以函数的值域为：{y|y＞1或y＜-1}
（5）y=

3x

x2+4

转化为：y=

3

x+ 4 x

由于x+

4

x

在①x＞0时，(x+

4

x

)min=4
所以：函数的最大值为：ymax=

3

4

②当x＜0时，(x+

4

x

)max=-4
所以：函数的最小值为：ymin=-

3

4

所以函数的值域为：{y|-

3

4

≤y≤

3

4

}
（6）y=2^x+2-3•4^x，转化为：y=4•2^x-3（2^x）²
设2^x=t（-1≤x≤0）
所以：

1

2

≤t≤1
则：原函数转化成y=-3t²+4t=-3（t-

2

3

）²+

4

3

当x=

2

3

时，ymax=

4

3

当x=1时，y_min=1
故函数的值域为：{y|1≤y≤

4

3

}
（7）y=（log₂

x

4

）•（log 

2

（2x）），（x≥1）
关系式转化为：y=(log2x-2)(2-log

2

x)=-2(log2x)2+6log₂x-4
=-2(log2x-

3

2

)2+

1

2

设：log₂x=t，由于x≥1，所以log₂x=t≥0
则关系式转化为：y=-2(t-

3

2

)2+

1

2

则函数为以t=

3

2

为对称轴开口方向向下的抛物线．
当t=

3

2

时，函数的最大值为：ymax=

1

2

所以函数的值域为：{y|y≥

1

2

}

点评：本题考查的知识要点：本题重点考查求函数治愈的基本方法，换元法，二次函数转化法，反函数法，利用复合函数的转化法，属于基础题型