Question

5．已知不等式|x-2|＞1的解集与关于x的不等式x²-ax+b＞0的解集相等．
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）=$\sqrt{x-b}$+$\sqrt{a-x}$的最大值，以及取得最大值时x的值．

Answer 1

分析 （1）求出第一个不等式的解集确定出第二个不等式的解集，进而求出a与b的值；
（2）把a与b的值代入确定出f（x），记y=f²（x），利用二次函数性质求出y的最大值，进而确定出f（x）的最大值．

解答 解：（1）∵不等式|x-2|＞1的解集为{x|x＞1或x＞3}，
∴不等式x²-ax+b＞0的解集为{x|x＞1或x＞3}，
∴1，3为方程x²-ax+b=0的两根，则有$\left\{\begin{array}{l}{1+3=a}\\{1×3=b}\end{array}\right.$，
解得：a=4，b=3；
（2）由（1）知f（x）=$\sqrt{x-3}$+$\sqrt{4-x}$，x∈[3，4]，
记y=f²（x），则y=1+2$\sqrt{（x-3）（4-x）}$=1+2$\sqrt{-{x}^{2}+7x-12}$，
∴当x=$\frac{7}{2}$时，y=f²（x）有最大值，即f（x）_max=f（$\frac{7}{2}$）=$\sqrt{\frac{7}{2}-3}$+$\sqrt{4-\frac{7}{2}}$=$\sqrt{2}$．

点评 此题考查了绝对值不等式的解法，以及判断两个函数是否为同一函数，熟练掌握运算法则是解本题的关键．