Question

5．如图，已知棱长为4的正方体ABCD-A'B'C'D'，M是正方形BB'C'C的中心，P是△A'C'D内（包括边界）的动点，满足PM=PD，则点P的轨迹长度为$\sqrt{14}$．

Answer 1

分析 满足PM=PD的点P的轨迹是过MD的中点，且与MD垂直的平面，根据P是△A′C′D内（包括边界）的动点，可得点P的轨迹是两平面的交线ST．T在中点，S在4等分点，利用余弦定理，求出ST即可．

解答 解：满足PM=PD的点P的轨迹是过MD的中点，且与MD垂直的平面，
∵P是△A′C′D内（包括边界）的动点，
∴点P的轨迹是两平面的交线ST．T在中点，
S在4等分点时，SD=3$\sqrt{2}$，SM=$\sqrt{{4}^{2}+2}$=3$\sqrt{2}$，满足SD=SM．
∴SD=3$\sqrt{2}$，TD=2$\sqrt{2}$
∴ST²=$（3\sqrt{2}）^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}$-2×$3\sqrt{2}×2\sqrt{2}$×cos60°=14．
∴ST=$\sqrt{14}$．
故答案为：$\sqrt{14}$．

点评 本题考查了空间位置关系、垂直平分线的性质、线面垂直的判定与性质定理、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．