题目内容

6．若对于任意的x∈（-∞，-1]，不等式（3m-1）2x＜1恒成立，则正实数m的取值范围是（0，1）．

分析 由已知x的范围求得2x的范围，进一步得到$\frac{1}{{2}^{x}}$的范围，把不等式（3m-1）2x＜1恒成立分离参数m，则答案可求．

解答 解：∵x∈（-∞，-1]，∴2x∈（0，$\frac{1}{2}$]，
不等式（3m-1）2x＜1恒成立，即3m-1$＜\frac{1}{{2}^{x}}$恒成立，
由2x∈（0，$\frac{1}{2}$]，得$\frac{1}{{2}^{x}}$∈[2，+∞）．
∴3m-1＜2，即m＜1．
∴正实数m的取值范围是（0，1）．
故答案为：（0，1）．

点评 本题考查恒成立问题，考查了数学转化思想方法，是中档题．

练习册系列答案
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