Question

18．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PDA⊥底面ABCD，O是AD的中点，PA=PD=2，BC=$\frac{1}{2}$AD=1，CD=$\sqrt{3}$．
（1）求证：OB⊥平面PAD；
（2）在线段PC上是否存在点M，使得二面角M-BO-C的大小为45°，若存在，确定M的位置，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据AD∥BC，BC=$\frac{1}{2}$AD，O为AD的中点可得四边形BCDO为平行四边形，则CD∥BO，从而OB⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD且平面PAD∩平面ABCD=AD，根据面面垂直的性质可知，BO⊥平面PAD，
（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系．利用向量法能求出t的值．

解答 证明：（1）∵AD∥BC，BC=$\frac{1}{2}$AD，O为AD的中点．
∴四边形BCDO为平行四边形，∴CD∥BO．
∵∠ADC=90°，∴∠AOB=90°，即OB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BO⊥平面PAD．
解：（2）∵PA=PD，O为AD的中点．∴PO⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PO⊥平面ABCD（6分）
如图，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系．
则平面BOC的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（0，0，1），
O（0，0，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），B（0，$\sqrt{3}$，0），C（-1，$\sqrt{3}$，0）．
设M（x，y，z），PM=tMC
$由\overrightarrow{PM}=（x，y，z-\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{MC}=（-1-x，\sqrt{3}-y，-z）$
则x=-$\frac{t}{1+t}$，y=$\frac{\sqrt{3}t}{1+t}$，z=$\frac{\sqrt{3}}{1+t}$，
∴$\overrightarrow{OM}=（-\frac{t}{1+t}，\frac{\sqrt{3}t}{1+t}，\frac{\sqrt{3}}{1+t}）$，$\overrightarrow{OB}=（0，\sqrt{3}，0）$，
设平面MBO的法向量为$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
$由\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{OB}=\sqrt{3}b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{OM}=-\frac{t}{1+t}a+\frac{\sqrt{3}t}{1+t}b+\frac{\sqrt{3}}{1+t}c=0\\;\\;}\end{array}\right.$可取$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，0，t）
∵二面角M-BO-C的大小为45°
∴cos45°=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{t}{\sqrt{3+{t}^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，解得t=$\sqrt{3}$
∴在线段PC上是存在点M，PM=$\sqrt{3}$MC，使得二面角M-BO-C的大小为45°．

点评 本题考查线面垂直的证明，向量法确定动点位置，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．