Question

1．已知a＞1，且f（log_ax）=$\frac{a}{{{a^2}-1}}（x-\frac{1}{x}）$．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断f（x）的奇偶性与单调性（直接写出结论，不需要证明）；
（3）对于f（x），当x∈（-1，1）时，有f（1-m）+f（1-m²）＜0，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）换元法解表达式，可得函数解析式；
（2）利用定义判断奇偶性；借助基本初等函数确定函数的单调性；
（3）由单调性解不等式．

解答 解：（1）令t=log_ax，x=a^t，
代入f（log_ax）中，得f（x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^x-a^-x），
（2）∴f（x）的定义域为R，关于原点对称．
又∵f（-x）=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$（a^-x-a^x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数．
当a＞1时，$\frac{a}{{a}^{2}-1}$＞0，a^x在R上递增，-a^-x在R上递增，故f（x）为增函数；
当0＜a＜1时，$\frac{a}{{a}^{2}-1}$＜0，a^x在R上递减，-a^-x在R上递减，故f（x）为增函数．
综上所述，f（x）为R上的增函数．
（3）由（1）知f（x）为奇函数，
由（2）知f（x）在x∈（-1，1）为增函数，
故有-1＜1-m＜m²-1＜1，解得1＜m$＜\sqrt{2}$．

点评 本题考查了函数的基本特征，同时考查了利用函数单调性求不等式的解集．