Question

2．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x，x＜0}\\{ln（x+1），x≥0}\end{array}\right.$，若关于x的方程f（x）=x+m（m∈R）恰有三个不相等的实数解，则m的取值范围是（-$\frac{1}{4}，0$）．

Answer 1

分析 方程f（x）=x+m（m∈R）恰有三个不相等的实数解?方程f（x）-x=m（m∈R）恰有三个不相等的实数解令g（x）=f（x）-x=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x，x＜0}\\{ln（x+1）-x，x≥0}\end{array}\right.$．画出函数g（x）的图象，由图求解

解答 解：方程f（x）=x+m（m∈R）恰有三个不相等的实数解?方程f（x）-x=m（m∈R）恰有三个不相等的实数解
令g（x）=f（x）-x=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x，x＜0}\\{ln（x+1）-x，x≥0}\end{array}\right.$．
当x≤0时，函数h（x）=ln（x+1）-x，h′（x）=$\frac{1}{x+1}-1=\frac{-x}{1+x}$，可知函数h（x）在（0，+∞）递减，
函数g（x）的图象如下，
由图可知g（-$\frac{1}{2}$）＜m＜0，
∴-$\frac{1}{4}＜m＜0$，
故答案为：（-$\frac{1}{4}$，0）．

点评 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，根据方程的根即为对应函数零点，将本题转化为求函数零点个数，进而利用图象法进行解答是解答本题的关键