Question

已知点P是⊙O：x²+y²=9上的任意一点，过P作PD垂直x轴于D，动点Q满足．
（1）求动点Q的轨迹方程；
（2）已知点E（1，1），在动点Q的轨迹上是否存在两个不重合的两点M、N，使（O是坐标原点），若存在，求出直线MN的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设P（x₀，y₀），Q（x，y），依题意，则点D的坐标为D（x₀，0）
∴
又
∴
∵P在⊙O上，故x₀²+y₀²=9
∴
∴点Q的轨迹方程为
（2）假设椭圆上存在两个不重合的两点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）满足，则
E（1，1）是线段MN的中点，且有

又M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）在椭圆上
∴
两式相减，得
∴
∴直线MN的方程为4x+9y﹣13=0
将直线MN的方程代入椭圆方程检验得：
52x²﹣104x﹣155=0则△＞0有实根
∴椭圆上存在点M、N满足，
此时直线MN的方程为4x+9y﹣13=0。