Question

6．某企业生产一种产品．日销售量x（x∈N^*，x≤40）（百件）与产品销售价格p（万元/百件）之间的关系为p（x）=32-$\frac{16x}{x+2}$，已知生产x（百件）该产品所需的成本C（x）=17x-10（万元） 
（1）把该产品每天的利润f（x）表示成日产量x的函数：
（2）求当日产量为多少时，生产该产品每天获得的利润最大？

Answer 1

分析 （1）用销售额减去成本即可得出f（x）的解析式；
（2）利用导数判断f（x）的单调性，从而可得出f（x）取得最大值时对应的x的值．

解答 解：（1）f（x）=x（32-$\frac{16x}{x+2}$）-（17x-10）=15x-$\frac{16{x}^{2}}{x+2}$+10（x∈N^*，x≤40），
（2）f′（x）=15-$\frac{16{x}^{2}+64x}{（x+2）^{2}}$=$\frac{-{x}^{2}-4x+60}{（x+2）^{2}}$=$\frac{-（x-6）（x+10）}{（x+2）^{2}}$，
∴当0＜x＜6时，f′（x）＞0，当6＜x＜40时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，6]上单调递增，在（6，40]上单调递减，
∴当x=6时，f（x）取得最大值．
∴当日产量为6百件时，生产该产品每天获得的利润最大．

点评 本题考查了函数的应用，函数单调性与最值的关系，属于中档题．