Question

13．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若a，b，c成等比数列．
（1）求B的取值范围；
（2）求y=$\frac{1+sin2B}{sinB-cos（A+C）}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-ac}{2ac}$，当且仅当a=c时，cosB取最小值$\frac{1}{2}$，由此能求出B的取值范围．
（2）推导出y=$\sqrt{2}$sin（B+$\frac{π}{4}$），由此能求出y的取值范围．

解答 解：（1）∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a，b，c成等比数列，
∴b²=ac，
cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-ac}{2ac}$，
∴当且仅当a=c时，cosB取最小值$\frac{1}{2}$．
∴B的取值范围是（0，$\frac{π}{3}$]．
（2）y=$\frac{1+sin2B}{sinB-cos（A+C）}$=$\frac{1+sin2B}{sinB+cosB}$=$\frac{（sinB+cosB）^{2}}{sinB+cosB}$=sinB+cosB=$\sqrt{2}$sin（B+$\frac{π}{4}$），
∵$\frac{π}{4}$＜B+$\frac{π}{4}$≤$\frac{7π}{12}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜sin（B+$\frac{π}{4}$）≤1．
故1＜y≤$\sqrt{2}$．
∴y=$\frac{1+sin2B}{sinB-cos（A+C）}$的取值范围是（1，$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查角的取值范围的求法，考查函数值的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理、同角三角函数关系式、三角函数恒等式的合理运用．