Question

2．已知数列{a_n}的前n项和为S_n=n²．
（1）求a_n；
（2）将{a_n}中的第2项，第4项，…，第2ⁿ项按原来的顺序排成一个新数列{b_n}，令c_n=$\frac{{（{a_n}+1）•（{b_n}+1）}}{4}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用a_n与前n项和为S_n的关系，只要S_n=n²．S_n-1=（n-1）²．n＞1，两式相减，注意验证首项；
（2）明确{b_n}的通项公式，利用错位相减法求和．

解答 解：（1）由数列{a_n}的前n项和为S_n=n²．得S_n-1=（n-1）²．n＞1，
两式相减得到a_n=2n-1（n＞1）；
令n=1，得到S₁=a₁=1，满足上式；故a_n=2n-1．
（2）由已知${b_n}={a_{2^n}}=2•{2^n}-1$，${c_n}=n•{2^n}$
$\begin{array}{l}{T_n}=1•2+2•{2^2}+3•{2^3}+…+n•{2^n}\\ 2{T_n}=，1•{2^2}+2•{2^3}+…+（n-1）•{2^n}+n•{2^{n+1}}\end{array}$
∴${T_n}=（n-1）{2^{n+1}}+2$．

点评 本题考查了已知数列的前n项和，求通项公式；以及利用错位相减法去数列的前n项和．