Question

20．△ABC的内角A，B，C对边分别为a，b，c，已知向量$\overrightarrow{m}$=（b，2c），$\overrightarrow{n}$=（sinB，sinA），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，c=3，cosB=$\frac{1}{3}$．
（1）求b；
（2）求$cos（2B-\frac{π}{6}）$．

Answer 1

分析 （1）直接利用向量共线列出方程，利用正弦定理以及余弦定理直接求解即可．
（2）利用两角和与差的三角函数以及二倍角公式直接求解即可．

解答 解：（1）△ABC的内角A，B，C对边分别为a，b，c，已知向量$\overrightarrow{m}$=（b，2c），$\overrightarrow{n}$=（sinB，sinA），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，可得：2csinB=bsinA，由正弦定理可得：2bc=ba，c=3可得a=2c=6，cosB=$\frac{1}{3}$．
由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB=36+9-2×$3×6×\frac{1}{3}$=33，
b=$\sqrt{33}$．
（2）$cos（2B-\frac{π}{6}）$=cos2Bcos$\frac{π}{6}$+sin2Bsin$\frac{π}{6}$=（2cos²B-1）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+2sinBcosB×$\frac{1}{2}$
=（$2×\frac{1}{9}-1$）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{2\sqrt{2}}{3}×\frac{1}{3}$
=$\frac{4\sqrt{2}-7\sqrt{3}}{18}$．

点评 本题考查正弦定理的应用，两角和与差的三角函数，以及同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．