Question

18．在平面直角坐标系xOy中，已知圆M的圆心在直线y=-2x上，且圆M与直线x+y-1=0相切于点P（2，-1）．
（1）求圆M的方程；
（2）过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为$\sqrt{6}$，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）求求出圆心坐标与半径，即可求出圆M的方程；
（2）分类讨论，利用点到直线的距离公式，结合过坐标原点O的直线l被圆M截得的弦长为$\sqrt{6}$，求直线l的方程．

解答 解：（1）过点（2，-1）且与直线x+y-1=0垂直的直线方程为x-y-3=0，…（2分）
由$\left\{\begin{array}{l}y=-2x\\ x-y-3=0\end{array}$ 解得$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-2\end{array}$，
所以圆心M的坐标为（1，-2），…（4分）
所以圆M的半径为r=$\sqrt{2}$，…（6分）
所以圆M的方程为 （x-1）²+（y+2）²=2．                   …（7分）
（2）因为直线l被圆M截得的弦长为$\sqrt{6}$，
所以圆心M到直线l的距离为d=$\sqrt{2-\frac{6}{4}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，…（9分）
若直线l的斜率不存在，则l为x=0，此时，圆心M到l的距离为1，不符合题意．
若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx，即kx-y=0，
由d=$\frac{|k+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，…（11分）
整理得k²+8k+7=0，
解得k=-1或-7，…（13分）
所以直线l的方程为x+y=0或7x+y=0．                …（14分）

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．