Question

6．已知函数f（x）=e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$，其中e是自然对数的底数．
（1）证明：f（x）是R上的奇函数；
（2）试判断方程f（x）=$\frac{{e}^{2}-1}{e}$的实根的个数；
（3）若关于x的不等式mf（x）≤e^-x-m-1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用函数奇偶性的定义，证明f（-x）=-f（x），判断函数是奇函数，得到本题结论；
（2）求出函数f（x）的单调性，画出函数大致图象，将方程根的问题转化为函数交点的问题；
（3）先对不等式mf（x）≤e^-x-m-1进行参变量分离，得到m≤$\frac{1{-e}^{x}}{{{（e}^{x}）}^{2}{+e}^{x}-1}$恒成立，然后利用导函数研究g（x）=$\frac{1{-e}^{x}}{{{（e}^{x}）}^{2}{+e}^{x}-1}$的最小值，得到本题结论．

解答 解：（1）∵f（x）的定义域为R，
∴f（-x）=e^-x-e^x=-（e^x-e^-x）=-f（x），
∴f（x）是R上的奇函数；
（2）∵f（x）=e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$，∴f′（x）=e^x+e^-x＞0，
∴f（x）在R递增，而f（0）=0，
函数f（x）=e^x-$\frac{1}{{e}^{x}}$和y=$\frac{{e}^{2}-1}{e}$的图象大致为：
，
函数有1个交点，即方程f（x）=$\frac{{e}^{2}-1}{e}$的实根的个数是1个；
（3）∵x＞0，∴e^x＞1，
故（e^x）²+e^x-1＞0；
由mf（x）≤e^-x-m-1得m（e^x-e^-x）≤e^-x-m-1，
即m（e^x-e^-x+1）≤e^-x-1
化简得m[（e^x）²+e^x-1]≤1-e^x，
即m≤$\frac{1{-e}^{x}}{{{（e}^{x}）}^{2}{+e}^{x}-1}$恒成立，
即求g（x）=$\frac{1{-e}^{x}}{{{（e}^{x}）}^{2}{+e}^{x}-1}$的最小值即可，
令t=e^x，由x＞0，得t＞1，得：
g（t）=$\frac{1-t}{{t}^{2}+t-1}$；
g′（t）=$\frac{t（t-2）}{{{（t}^{2}+t-1）}^{2}}$（t＞1），
令g′（t）=0，解得t=2；
令g′（t）＞0，解得t＞2；
令g′（t）＜0，解得1＜t＜2；
∴g（x）的单调递减区间为（1，2），
g（x）的单调递增区间为（2，+∞），
∴以g（x）的最小值为g（2）=$\frac{1-2}{{2}^{2}+2-1}$=-$\frac{1}{5}$；
综上，所求实数m的取值范围为（-∞，-$\frac{1}{5}$]．

点评 本题考查了函数奇偶性的定义和恒成立问题，本题难度适中，属于中档题．