Question

13．a，b，c是△ABC的三条边长，满足a⁴+b⁴=c⁴，则△ABC的形状为（　　）

• A． 锐角三角形
• B． 直角三角形
• C． 钝角三角形
• D． 不确定

Answer 1

分析 由题意可得 （a²+b²）²-c⁴ =2a²b²＞0，△ABC中，由余弦定理可得 cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$＞0，可得角C 为锐角，再根据c边为最大边，可得角C 为△ABC的最大角，从而得出结论．

解答 解：∵△ABC的三边长分别为a，b，c，且a⁴+b⁴=c⁴，
∴（a²+b²）²=a⁴+b⁴ +2a²b²=c⁴+2a²b²．
∴（a²+b²）²-c⁴ =2a²b²＞0．
又∵（a²+b²）²-c⁴ =（a²+b²+c²） （a²+b²-c²），
∴a²+b²-c²＞0．
∴△ABC中，由余弦定理可得：cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$＞0，
∴角C 为锐角．
∵由题意可得，c边为最大边，
∴角C 为△ABC的最大角，
∴△ABC是锐角三角形，
故选：A．

点评 本题主要考查余弦定理的应用，以及三角形中大边对大角，考查了转化思想，求得 cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$＞0是解题的关键，属于中档题．