Question

9．如图在棱锥P-ABCD中，ABCD为矩形，PD⊥面ABCD，PB=2，PB与面PCD成45°角，PB与面ABD成30°角．
（1）在PB上是否存在一点E，使PC⊥面ADE，若存在确定E点位置，若不存在，请说明理由；
（2）当E为PB中点时，求二面角P-AE-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）法一：要证明PC⊥面ADE，只需证明AD⊥PC，通过证明$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{PC}=0$即可，然后推出存在点E为PC中点．
法二：建立如图所示的空间直角坐标系D-XYZ，设$\overrightarrow{PE}=λ\overrightarrow{PB}$，通过$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{DE}$=0得到$λ=\frac{1}{2}$，即存在点E为PC中点．   
（2）由（1）知求出面ADE的法向量，面PAE的法向量，利用空间向量的数量积．求解二面角P-AE-D的余弦值．

解答 （1）法一：要证明PC⊥面ADE，易知AD⊥面PDC，即得AD⊥PC，故只需$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{PC}=0$即可，
所以由$（\overrightarrow{DP}+\overrightarrow{PE}）•\overrightarrow{PC}=0⇒\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PC}=0⇒|\overrightarrow{PE}|=1$，即存在点E为PC中点   …（6分）
法二：建立如图所示的空间直角坐标系D-XYZ，由题意知PD=CD=1，$CE=\sqrt{2}$，设$\overrightarrow{PE}=λ\overrightarrow{PB}$，∴$\overrightarrow{PE}=λ\overrightarrow{PB}=λ（\sqrt{2}，1，-1）$，$\overrightarrow{PC}=（0，1，-1）$
由$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{PC}•（\overrightarrow{DP}+\overrightarrow{PE）}=（0，1，-1）•（\sqrt{2}λ，λ，1-λ）=0$，得$λ=\frac{1}{2}$，
即存在点E为PC中点．                                          …（6分）
（2）由（1）知D（0，0，0），$A（\sqrt{2}，0，0）$，$E（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$，P（0，0，1）$\overrightarrow{DA}=（\sqrt{2}，0，0）$，$\overrightarrow{DE}=（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$，$\overrightarrow{PA}=（\sqrt{2}，0，-1）$，$\overrightarrow{PE}=（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}）$
设面ADE的法向量为$\overrightarrow{n_1}=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$，面PAE的法向量为$\overrightarrow{n_2}=（{x_2}，{y_2}，{z_2}）$
由的法向量为$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{DA}=0\\ \overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{DE}=0\end{array}\right.$得，$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{2}{x_1}=0\\ \sqrt{2}{x_1}+\frac{1}{2}{y_1}+\frac{1}{2}{z_1}=0\end{array}\right.$得$\overrightarrow{n_1}=（0，1，-1）$
同理求得$\overrightarrow{n_2}=（1，0，\sqrt{2}）$所以$cosθ=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_1}}}{{|\overrightarrow{n_1}|•\overrightarrow{|{n_1}}|}}=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
故所求二面角P-AE-D的余弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．…（6分）

点评 本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．