Question

15．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，向量$\overrightarrow{m}$=（cos（B-C），sin（B-C）），$\overrightarrow{n}$=（cosC，-sinC），$\overrightarrow{m}$$•\overrightarrow{n}$=$\frac{1}{2}$．
（1）求B的大小；
（2）若a+c=2$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{3}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由向量的数量积的运算和两角和的余弦公式即可求出，
（2）由余弦定理求出ac的值，再根据三角形的面积公式即可求出．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{m}$=（cos（B-C），sin（B-C）），$\overrightarrow{n}$=（cosC，-sinC），
∴$\overrightarrow{m}$$•\overrightarrow{n}$=cos（B-C）cosC-sin（B-C）sinC=cos（B-C+C）=cosB=$\frac{1}{2}$，
∵0＜B＜π，
∴B=$\frac{π}{3}$，
（2）∵a+c=2$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{3}$，
由余弦定理可得b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-2ac-2accosB，
∴3=12-3ac，
∴ac=3，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$×3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了向量的数量积和余定理和三角函数的化简，以及三角形的面积公式，属于中档题．