Question

14．如图，在正四棱锥P-ABCD中，PA=AB=a，E是棱PC的中点．
（1）求证：PC⊥BD；
（2）求直线BE与PA所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出△PBC，△PDC都是等边三角形，从而BE⊥PC，DE⊥PC，由此能证明PC⊥BD．
（2）连接AC，交BD于点O，连OE，则AP∥OE，∠BOE即为BE与PA所成的角，由此能求出直线BE与PA所成角的余弦值．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，且PA=AB=a，
∴△PBC，△PDC都是等边三角形，…（2分）
∵E是棱PC的中点，
∴BE⊥PC，DE⊥PC，又 BE∩DE=E，
∴PC⊥平面BDE…（5分）
又BD?平面BDE，
∴PC⊥BD…（6分）
解：（2）连接AC，交BD于点O，连OE．   
四边形ABCD为正方形，∴O是AC的中点…（8分）
又E是PC的中点
∴OE为△ACP的中位线，∴AP∥OE
∴∠BEO即为BE与PA所成的角   …（10分）
在Rt△BOE中，BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，EO=$\frac{1}{2}PA=\frac{1}{2}a$，…（12分）
∴cos∠BEO=$\frac{OE}{BE}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴直线BE与PA所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．…（14分）

点评 本题考查线线垂直的证明，考查线线角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．