Question

9．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2acosB=ccosB+bcosC
（1）求角B的大小；
（2）设向量$\overrightarrow m$=（cosA，cos2A），$\overrightarrow n$=（12，-5），边长a=4，求当$\overrightarrow m•\overrightarrow n$取最大值时，三角形的面积S_△ABC的值．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理，两角和的正弦函数公式化简可得cosB的值，利用特殊角的三角函数值即可得解B的值．
（2）利用平面向量数量积的运算化简可得$\overrightarrow m•\overrightarrow n$=-10（cosA-$\frac{3}{5}$）²+$\frac{43}{5}$，利用二次函数的图象和性质可得当$cosA=\frac{3}{5}$时，$\overrightarrow m•\overrightarrow n$取最大值，此时$sinA=\frac{4}{5}$，由正弦定理可求b，进而求得sinC，利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：（1）因为由题意：2sinAcosB=sinCcosB+cosCsinB=sin（B+C）=sinA，
又因为：sinA≠0，可得：cosB=$\frac{1}{2}$，
所以：B=$\frac{π}{3}$．
（2）因为：$\overrightarrow m•\overrightarrow n=12cosA-5cos2A$，
所以：$\overrightarrow m•\overrightarrow n=12cosA-5cos2A$=-10cos²A+12cosA+5=-10（cosA-$\frac{3}{5}$）²+$\frac{43}{5}$，
所以：当$cosA=\frac{3}{5}$时，$\overrightarrow m•\overrightarrow n$取最大值，此时$sinA=\frac{4}{5}$，
因为：a=4，由正弦定理得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，
所以：b=$\frac{asinB}{sinA}$=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$，
所以：${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC$=$\frac{4\sqrt{3}+9}{2}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值，平面向量数量积的运算，二次函数的图象和性质，正弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．