Question

3．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的方程为x²=4y+4．
（1）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
（2）直线l的参数方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}}\right.$（t为参数），l与C交于A，B两点，|AB|=8，求l的斜率．

Answer 1

分析 （1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ可得抛物线C的极坐标方程；
（2）设A，B所对应的极径分别为ρ₁，ρ₂，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得cos²αρ²-4sinαρ-4=0，利用极径的几何意义，即可求解．

解答 解：（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ可得抛物线C的极坐标方程ρ²cos²θ-4ρsinθ-4=0；
（2）在（1）中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=α（ρ∈R），
设A，B所对应的极径分别为ρ₁，ρ₂，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得cos²αρ²-4sinαρ-4=0，
∵cos²α≠0（否则，直线l与抛物线C没有两个公共点）
于是${ρ_1}+{ρ_2}=\frac{4sinα}{{{{cos}^2}α}}，{ρ_1}{ρ_2}=-\frac{4}{{{{cos}^2}α}}$，$|{AB}|=|{{ρ_1}-{ρ_2}}|=\sqrt{{{（{{ρ_1}+{ρ_2}}）}^2}-4{ρ_1}{ρ_2}}=\frac{{\sqrt{16{{cos}^2}α+16{{sin}^2}α}}}{{{{cos}^2}α}}=\frac{4}{{{{cos}^2}α}}$，
由|AB|=8得${cos^2}α=\frac{1}{2}，tanα=±1$，
所以l的斜率为1或-1．

点评 本题考查普通方程与极坐标方程的转化，考查极径的几何意义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．