Question

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知

BA

•

BC

=-3，cosB=-

3

7

，b=2

14

．求：
（Ⅰ）a和c的值；
（Ⅱ）sin（A-B）的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,两角和与差的正弦函数

专题：计算题,解三角形,平面向量及应用

分析：（Ⅰ）由向量的数量积的定义和余弦定理，解方程即可得到a，c；
（Ⅱ）运用余弦定理求出cosA，再由同角的平方关系和两角差的正弦公式计算即可得到．

解答： 解：（Ⅰ）由

BA

•

BC

=-3，cosB=-

3

7

，
则

BA

•

BC

=cacosB=-3，即有ac=7，
由b=2

14

，则b²=a²+c²-2accosB=56，
则有a²+c²=50，
由a＞c，解得，a=7，c=1；
（Ⅱ）cosA=

c2+b2-a2

2bc

=

1+56-49

2×1×2 14

=

14

7

，
sinA=

1- 14 49

=

35

7

，
又cosB=-

3

7

，则sinB=

1- 9 49

=

40

7

．
则sin（A-B）=sinAcosB-cosAsinB=

35

7

×(-

3

7

)-

14

7

×

40

7

=-

35

7

．

点评：本题考查向量的数量积的定义，考查余弦定理和同角的平方关系及两角差的正弦公式的运用，考查运算能力，属于基础题．