Question

3．设p：f（x）=1+ax，在（0，2]上f（x）≥0恒成立，q函数g（x）=ax-$\frac{a}{x}$+2lnx在其定义域上存在极值．
（1）若p为真命题，求实数a的取值范围；
（2）如果“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若p为真命题，则a$≥-\frac{1}{x}$，x∈（0，2]恒成立，进而得到得实数a的取值范围；
（2）如果“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则命题p与q一真一假，进而得到实数a的取值范围

解答 解：（1）若p为真命题，则a$≥-\frac{1}{x}$，x∈（0，2]恒成立，所以$a≥（-\frac{1}{x}）_{max}$，即a的取值范围为[-$\frac{1}{2}，+∞）$
（2）对于q，g′（x）=$\frac{a{x}^{2}+2x+a}{{x}^{2}}$，
若a≥0，g'（x）＞0，g（x）在定义域单调递增，在其定义域上不存在极值，不符合题意；
若a＜0，则-$\frac{1}{a}$＞0，由△=4-4a²＞0，解得-1＜a＜0，
所以，若q为真命题，则-1＜a＜0，…（8分）
因为“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，所以命题p与q一真一假，
①p真q假时，$\left\{\begin{array}{l}{a≥-\frac{1}{2}}\\{a≥0或a≤-1}\end{array}\right.$解得a≥0，
②p假q真时，$\left\{\begin{array}{l}{a＜-\frac{1}{2}}\\{-1＜a＜0}\end{array}\right.$解得-1＜a＜-$\frac{1}{2}$
综上所述，a的取值范围为（-1，-$\frac{1}{2}$）∪[0，+∞）．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数恒成立问题，利用导数研究函数的极值，复合命题等知识点，难度中档．