Question

6．已知圆C₁：（x-1）²+（y+1）²=1，圆C₂：（x-4）²+（y-5）²=9．点M、N分别是圆C₁、圆C₂上的动点，P为x轴上的动点，则|PN|-|PM|的最大值是（　　）

• A． 2$\sqrt{5}$+4
• B． 9
• C． 7
• D． 2$\sqrt{5}$+2

Answer 1

分析 先根据两圆的方程求出圆心和半径，要使|PN||-|PM|最大，需|PN|最大，且|PM|最小，|PN|最大值为|PF|+3，PM|的最小值为|PE|-1，故|PN||-|PM|最大值是 （|PF|+3）-（|PE|-1）=|PF|-|PE|+4，再利用对称性，求出所求式子的最大值．

解答 解：圆C₁：（x-1）²+（y+1）²=1的圆心E（1，-1），半径为1，
圆C₂：（x-4）²+（y-5）²=9的圆心F（4，5），半径是3．
要使|PN|-|PM|最大，需|PN|最大，且|PM|最小，|PN|最大值为|PF|+3，PM|的最小值为|PE|-1，
故|PN|-|PM|最大值是 （|PF|+3）-（|PE|-1）=|PF|-|PE|+4
F（4，5）关于x轴的对称点F′（4，-5），|PN|-|PM|=|PF′|-|PE|≤|EF′|=$\sqrt{（4-1）^{2}+（-5+1）^{2}}$=5，
故|PN|-|PM|的最大值为5+4=9，
故选：B．

点评 本题的考点是圆的方程的综合应用，主要考查圆的标准方程，点与圆的位置关系，体现了转化及数形结合的数学思想．