Question

2．已知直线l的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=3-2t}\end{array}\right.$（t是参数），以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程是ρ=4sinθ．
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）已知点P的直角坐标为（2，1）直线l与圆C交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）由圆C的极坐标ρ=4sinθ 根据x=ρcosθ、y=ρsinθ化为直角坐标方程．
（2）由题意可得直线的方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{\sqrt{5}}t′}\\{y=1-\frac{2}{\sqrt{5}}t′}\end{array}\right.$（t′是参数），代入曲线方程化简求得t′₁t₂′=1，可得|PA|•|PB|=|t₁′|•|t₂′|的值．

解答 解：（1）由圆C的极坐标ρ=4sinθ，即 ρ²=4ρsinθ，可得直角坐标方程为 x²+（y-2）²=4，
表示以（0，2）为圆心、半径等于2的圆．
（2）由直线l过点P（2，1），可得直线的方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{1}{\sqrt{5}}t′}\\{y=1-\frac{2}{\sqrt{5}}t′}\end{array}\right.$（t′是参数），
把直线方程代入曲线方程化简可得$t{′}^{2}+\frac{8\sqrt{5}}{5}t′+1$=0
设A、B对应的参数分别为t′₁、t′₂，则t′₁t₂′=1，∴|PA|•|PB|=|t₁′|•|t₂′|=1．

点评 本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线的参数方程，参数的几何意义，属于基础题．