Question

14．命题p：?x∈[1，2]，使x²+2x≥a成立；命题q：?x∈R，都有3^x-9^x＜a恒成立．若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 命题p：?x∈[1，2]，使x²+2x≥a成立，则（x²+2x）_max≥a；命题q：由于?x∈R，都有3^x-9^x＜a恒成立，可得a＞（3^x-9^x）_max．若p∨q为真，p∧q为假，则p与q必然一真一假．即可得出．

解答 解：命题p：?x∈[1，2]，使x²+2x≥a成立，而（x²+2x）_max=2²+2×2=8，∴a≤8；
命题q：3^x-9^x=-$（{3}^{x}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{1}{4}$$≤\frac{1}{4}$，由于?x∈R，都有3^x-9^x＜a恒成立，∴$a＞\frac{1}{4}$．
若p∨q为真，p∧q为假，则p与q必然一真一假．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≤8}\\{a≤\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a＞8}\\{a＞\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
解得$a≤\frac{1}{4}$，或a＞8．
∴实数a的取值范围是$a≤\frac{1}{4}$，或a＞8．

点评 本题考查了函数的性质、复合命题的真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．