Question

11．在△ABC中，AC=1，BC=$\sqrt{2}$，以AB为边作等腰直角三角形ABD（B为直角顶点，C，D两点在直线AB的两侧），当∠C变化时，线段CD长的最大值为3．

Answer 1

分析 设∠ABC=α，AB=BD=a，由余弦定理，得CD²=2+a²+2$\sqrt{2}$sinα，cosα=$\frac{{a}^{2}+1}{2\sqrt{2}a}$，由此能求出当∠C变化时，线段CD长的最大值．

解答 解：设∠ABC=α，AB=BD=a，
在△BCD中，由余弦定理，
得CD²=BD²+BC²-2BD•BC•cos（90°+α）=2+a²+2$\sqrt{2}$sinα，
在△ABC中，由余弦定理，得cosα=$\frac{{a}^{2}+1}{2\sqrt{2}a}$，
∴sinα=$\frac{\sqrt{-{a}^{2}+6{a}^{2}-1}}{2\sqrt{2}a}$，∴CD²=$2+{a}^{2}+\sqrt{-{a}^{4}+6{a}^{2}-1}$，
令t=2+a²，则CD²=t+$\sqrt{-{t}^{2}+10t-17}$=t+$\sqrt{-（t-5）^{2}+8}$≤$\sqrt{2}•\sqrt{（t-5）^{2}+[-t（t-5）^{2}+8]}$+5=9，
当（t-5）²=4时等号成立．
∴当∠C变化时，线段CD长的最大值为3．
故答案为：3．

点评 本题考查线段长的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．