Question

（文科做）如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=6，BC=4，AB=2，E，F分别在BC，AD上，EF∥AB现将四边形ABEF沿EF折起，使得平面ABEF⊥平面EFDC．
（1）设BE=x，问当x为何值时，三棱锥A-CDF的体积有最大值？并求出这个最大值．
（2）当BE=1，是否在折叠后的AD上存在一点P，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出AP的长，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知得AF⊥平面EFDC．由已知BE=x，从而AF=x（0＜x＜4），FD=6-x．由此能求出x=3时，V_A-CDF有最大值3．
（2）存在P使得满足条件CP∥平面ABEF，且此时λ=

3

2

．当λ=

3

2

时，

AP

=

3

2

PD

，

AP

AD

=

3

5

，过点P作MP∥FD，与AF交于点M，四边形MPCE为平行四边形，由此能推导出CP∥平面ABEF．

解答： （文科做）（本题满分10分）
解：（1）因为平面ABEF⊥平面EFDC，
平面ABEF∩平面EFDC=EF，又AF⊥EF，
所以AF⊥平面EFDC．由已知BE=x，
所以AF=x（0＜x＜4），FD=6-x．
故VA-CDF=

1

3

×

1

2

×2×(6-x)×x
=

1

3

×(6x-x2)
=

1

3

[-(x-3)2+9]
=-

1

3

(x-3)2+3．
所以，当x=3时，V_A-CDF有最大值，最大值为3．
（2）存在P使得满足条件CP∥平面ABEF，且此时λ=

3

2

．
下面证明：
当λ=

3

2

时，即此时

AP

=

3

2

PD

，可知

AP

AD

=

3

5

，
过点P作MP∥FD，与AF交于点M，
则有

MP

FD

=

3

5

，又FD=5，故MP=3，
又因为EC=3，MP∥FD∥EC，
故有MP

∥

.

EC，故四边形MPCE为平行四边形，
所以PC∥ME，又CP?平面ABEF，ME?平面ABEF，
故有CP∥平面ABEF成立．

点评：本题考查线段长为多少时三棱锥A-CDF的体积有最大值的求法，考查使得CP∥平面ABEF的线段是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．