Question

13．方程$\sqrt{-{x^2}-2x}$=kx+4有两个不相等的实根，则k的取值范围是（　　）

• A． $（\frac{15}{8}，2]$
• B． [2，+∞）
• C． $（-∞，\frac{15}{8}]$
• D． $（\frac{15}{8}，+∞）$

Answer 1

分析 方程有两个不等的实根可以转化为函数$y=\sqrt{-{x}^{2}-2x}$和函数y=kx+4的图象由两个不同的交点，在求出临界位置的直线的斜率即可．

解答 解：
方程有两个不等的实根等价于函数$y=\sqrt{-{x}^{2}-2x}$和函数y=kx+4的图象由两个不同的交点，
函数$y=\sqrt{-{x}^{2}-2x}$的解析式可变形为x²+y²+2x=0，即（x+1）²+y²=1（y≥0），其图象为圆点在（-1，0），半径为1的圆在x轴上方的部分，如图

由图可知，当直线PN绕点P顺时针旋转至直线PM（PM为切线）位置时，直线与半圆有两个交点，
又${k}_{PN}=\frac{4-0}{0-（-2）}=2$，当直线与半圆相切时有：$\frac{|4-k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=1$，解得：k_PM=$\frac{15}{8}$，
∴k的取值范围是$（\frac{15}{8}，2]$．
故选：A．

点评 本题考查用数形结合的方法判断方程解的个数问题．解题关键是能正确把方程得解的个数问题转化为函数图象的交点个数问题．此题若用代数方法求解要复杂得多．属于中档题．