Question

20．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a=2且（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，则△ABC面积的最大值为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由正弦定理化简已知可得2a-b²=c²-bc，结合余弦定理可求A的值，由基本不等式可求bc≤4，再利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：因为：（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC
⇒（2+b）（a-b）=（c-b）c
⇒2a-b²=c²-bc，
又因为：a=2，
所以：$2a-{b^2}={c^2}-bc⇒{b^2}+{c^2}-{a^2}=bc⇒cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=\frac{1}{2}⇒A=\frac{π}{3}$，
△ABC面积$S=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{\sqrt{3}}}{4}bc$，
而b²+c²-a²=bc
⇒b²+c²-bc=a²
⇒b²+c²-bc=4
⇒bc≤4
所以：$S=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{\sqrt{3}}}{4}bc≤\sqrt{3}$，即△ABC面积的最大值为$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．