Question

8．已知斜三角形ABC
（1）求证：tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC；
（2）又若tanA+tanB+tanC＞0，设f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-1，x＜0\\ 0，x=0\\ 1，x＞0\end{array}$，记m=（sinA）^cosB-（cosB）^sinA，n=sin（A+B）-sinA-sinB，求2f（m）+f（n）的值．

Answer 1

分析 （1）由tanC=-tan（A+B），展开两角和的正切化简得答案；
（2）由tanA+tanB+tanC＞0结合（1）可知△ABC为锐角三角形，得到$A+B＞\frac{π}{2}$，进一步得$\frac{π}{2}＞A＞\frac{π}{2}-B＞0$，可得$1＞sinA＞sin（\frac{π}{2}-B）=cosB＞0$，分析得到m，n的符号，结合已知分段函数求得2f（m）+f（n）的值．

解答 （1）证明：由$tanC=-tan（A+B）=-\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$，
得：tanC-tanAtanBtanC=-tanA-tanB，
即：tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC；
（2）解：由tanA+tanB+tanC＞0及第一问知△ABC为锐角三角形，
∴$A+B＞\frac{π}{2}$，则$\frac{π}{2}＞A＞\frac{π}{2}-B＞0$，
∴$1＞sinA＞sin（\frac{π}{2}-B）=cosB＞0$，
∴m=（sinA）^cosB-（cosB）^sinA＞0，
又n=sin（A+B）-sinA-sinB=sinAcosB+cosAsinB-sinA-sinB＜0．
∴2f（m）+f（n）=2×1+（-1）=1．

点评 本题考查两角和与差的正切，考查三角函数的单调性，考查两角和的正弦的应用，是中档题．