Question

20．正四面体相邻两个面所成的二面角的大小为$arccos\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，结合对称性找出一个二面角的平面角，求解直角三角形得答案．

解答 解：如图，四面体P-ABC为正四面体，
设正四面体的棱长为a，过P作PO⊥面ABC，
则O为底面三角形中心，
连接CO并延长，交AB于E，连接PE，则PE⊥AB，
∠PEO为二面角P-AB-C的平面角，
$PE=CE=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，$OE=\frac{1}{3}CE=\frac{\sqrt{3}}{6}a$，
在Rt△POE中，cos∠PEO=$\frac{OE}{PE}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{6}a}{\frac{\sqrt{3}}{2}a}=\frac{1}{3}$，
∴∠PEO=arccos$\frac{1}{3}$．
即正四面体相邻两个面所成的二面角的大小为$arccos\frac{1}{3}$．
故答案为：$arccos\frac{1}{3}$．

点评 本题考查二面角的平面角的求法，考查正四面体的概念，正确找出二面角的平面角是解答该题的关键，是中档题．