Question

7．如图，四边形ABCD为矩形，DA⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，BF⊥平面ACE于点F，且点F在CE上．
（1）求证：AE⊥BE；
（2）求三棱锥C-ADE的体积．

Answer 1

分析 （1）推导出BC⊥平面ABE，从而AE⊥BC，再求出AE⊥BF，从而AE⊥平面BEC，由此能证明AE⊥BE．
（2）作EH⊥AB，三棱锥C-ADE的体积V_C-ADE=V_E-ACD，由此能求出结果．

解答 证明：（1）∵DA⊥平面ABE，BC∥DA，
∴BC⊥平面ABE，
∵AE?平面ABE，∴AE⊥BC，…（1分）
∵BF⊥平面ACE于点F，AE?平面ACE，
∴AE⊥BF，…（2分）
∵BC∩BF=B，…（3分）
BC?平面BEC，BF?平面BEC，∴AE⊥平面BEC，
∵BE?平面BEC，∴AE⊥BE．…（4分）
解：（2）作EH⊥AB，…（5分）
∵DA⊥平面ABE，EH?平面ABE，∴AD⊥EH，…（6分）
AD∩AB=A，AD?平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴EH⊥平面ABCD，…（7分）
由（1）得AE⊥BE，AE=EB=BC=2，
AB=2$\sqrt{2}$，EH=$\sqrt{2}$，…（8分）
∴三棱锥C-ADE的体积V_C-ADE=V_E-ACD=$\frac{1}{3}EH•{S}_{△ACD}$=$\frac{1}{3}×\sqrt{2}×\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}$=$\frac{4}{3}$．…（10分）

点评 本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．