题目内容

甲、乙两企业，2000年的销售量均为p（2000年为第一年），根据市场分析和预测，甲企业前n年的总销量为 $数学公式$ （n²-n+2），乙企业第n年的销售量比前一年的销售量多 $数学公式$ ．
（1）求甲、乙两企业第n年的销售量的表达式；
（2）根据甲、乙两企业所在地的市场规律，如果某企业的年的销售量不足另一企业的年销售量的20%，则该企业将被另一企业收购，试判断，哪一企业将被收购？这个情形将在那一年出现？是说明理由．

解：设甲企业前n年的总销量为S_n，第n年的销量为a_n，乙企业第n年的销售量b_n，根据题意，得S_n= $\text{[math]}$ （n²-n+2），b_n= $\text{[math]}$ （n≥2）
a₁=S_₂-S₁=p，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=p（n-1）
故a_n= $\text{[math]}$ ，
∵b_n=b₁+（b₂-b₁）+…+（b_n-b_n-1），
∴b_n=p+ $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ =（2- $\text{[math]}$ ）p．
（2）∵a_n≥p，b_n≥p，∴a_n $\text{[math]}$ b_n $\text{[math]}$ b_n，
故甲企业不可能被乙企业收购，
当n=1时，a₁=b₁=p，乙企业不可能被甲企业收购，
当n≥2时，
∴ $\text{[math]}$ a_n＞b_n? $\text{[math]}$ ，
∴n $\text{[math]}$ ，
则当n=2，3时，经验证n $\text{[math]}$ ，
当4≤n≤10时，有 $\text{[math]}$ ，
∴n $\text{[math]}$
当n≥11时， $\text{[math]}$ ，所以必有n＞ $\text{[math]}$ ，
故当n=11时，即2010乙企业可能被甲企业收购．
分析：（1）利用S_n= $\text{[math]}$ （n²-n+2），即a_n=S_n-S_n-1，可求a_n的表达式；n≥2时，利用b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1），可求b_n的表达式；
（2）利用（1）中a_n，b_n的表达式，代入求解，分类计算可得，某企业的年的销售量不足另一企业的年销售量的20%，一企业将被另一企业收购．
点评：本题考查数列的通项，考查叠加法，考查利用数列知识解决实际问题，确定数列的通项是关键．