Question

已知函数为自然对数的底数）．

（Ⅰ）求曲线在处的切线方程；

（Ⅱ）若是的一个极值点，且点，满足条件：

.

（ⅰ）求的值；

（ⅱ）求证：点，，是三个不同的点，且构成直角三角形．

Answer 1

解：（Ⅰ），              

，又，                  

所以曲线在处的切线方程为，

即．                  

（Ⅱ）（ⅰ）对于，定义域为．

当时，，，∴；

当时，；当时，，，∴，             所以存在唯一的极值点，∴，则点．         

（ⅱ）若，则，，

与条件不符，从而得．同理可得               

若，由，此方程无实数解，从而．    

由上可得点，，两两不重合．又

        

        

        

从而，点，，可构成直角三角形．