Question

9．已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ²cos2θ=1．
（1）求曲线C的普通方程；
（2）求直线l被曲线C截得的弦长．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式、极坐标与直角坐标互化公式即可得出．
（2）把直线参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数）代入曲线C的方程可得：t²-4t-6=0，利用弦长公式即可得出．

解答 解：（1）由曲线C：ρ²cos2θ=ρ²（cos²θ-sin²θ）=1，
得ρ²cos2θ-ρ²sin²θ=1，化成普通方程x²-y²=1①
（2）把直线参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数）   ②
把②代入①得：${（{2+\frac{1}{2}t}）^2}-{（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}）^2}=1$整理，得t²-4t-6=0
设其两根为t₁，t₂，则t₁+t₂=4，t₁•t₂=-6
从而弦长为$|{{t_1}-{t_2}}|=\sqrt{{{（{t+{t_2}}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\sqrt{{4^2}-4（{-6}）}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化公式、直线与曲线相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．