Question

1．已知函数f（x）=sinωx+$\sqrt{3}$cosωx（ω＞0），f（$\frac{π}{6}$）+f（$\frac{π}{2}$）=0，且f（x）在区间（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）上递减，则ω=2．

Answer 1

分析 利用辅助角公式化积，求出复合函数的减区间，再由f（x）在区间（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）上递减列不等式求得ω的范围，继而得出$\frac{π}{3}ω+\frac{π}{3}=kπ$，从而可求ω的值．

解答 解：f（x）=sinωx+$\sqrt{3}$cosωx=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$），
由$\frac{π}{2}+2kπ≤ωx+\frac{π}{3}≤\frac{3π}{2}+2kπ，k∈Z$，取k=0，得：
$\frac{π}{6ω}≤x≤\frac{7π}{6ω}$，由于f（x）在区间（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$）上单调递减，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{π}{6ω}≤\frac{π}{6}}\\{\frac{7π}{6ω}≥\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，解得1≤ω≤$\frac{7}{3}$．
∵f（$\frac{π}{6}$）+f（$\frac{π}{2}$）=0，
∴x=$\frac{\frac{π}{6}+\frac{π}{2}}{2}$=$\frac{π}{3}$为f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{3}$）的一个中心的横坐标，
∴$\frac{π}{3}ω+\frac{π}{3}=kπ$，则ω=3k-1，k∈Z，
又1≤ω≤$\frac{7}{3}$．
∴ω=2．
故答案为：2．

点评 本题考查三角函数值的恒等变换应用，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题．