Question

15．定义在R上的函数f（x）满足f（x）+f（x+5）=16，当x∈（-1，9）时，f（x）=x²-2^x，则函数f（x）在[0，2016]上的零点个数是605．

Answer 1

分析 由f（x）+f（x+5）=16，可得f（x+5）+f（x+10）=16，两式相减，可得f（x）为周期为10的函数，作图分析可知，当x∈（-1，9）时，f（x）=x²-2^x有三个零点，从而可得答案．

解答 解：∵f（x）+f（x+5）=16，
f（x+5）+f（x+10）=16，
两式相减得，f（x）=f（x+10），
故f（x）为周期为10的函数，x∈（-1，9）时，
令f（x）=x²-2^x=0得：x²=2^x，
在同一坐标系中作出y=x²与y=2^x的图象如下，

由图知，当x∈（-1，4]时，函数f（x）=x²-2^x有3个零点（y轴右侧的两个零点为2和4），
∵f’（x）=2x-2^xln2，∴当x∈（4，9）时，f’（x）＜0，函数单调减，即无零点，
综上：函数f（x）在一个周期内有三个零点，
2016=201×10+6，
就是说在区间在[0，2016]上有201个完整周期，这201个周期内共603个零点，在[0，6]内有二个零点，
∴函数f（x）在[0，2016]上共有605个零点，
故答案为：605．

点评 本题考查抽象函数及其应用，求得函数的周期为10，且一个周期内函数f（x）有三个零点是关键，也是难点，考查分析与作图能力，属于难题．