Question

若x＞0，y＞0，且x+2y=2，则

1

x

+

2

y

的最小值是

 

．

Answer 1

分析：将x+2y=2变形为

x

2

+y=1，利用“1”的代换的思想，将

1

x

+

2

y

的最小值转化为（

1

x

+

2

y

）（

x

2

+y），展开整理，再运用基本不等式，即可求得结果．

解答：解：∵x+2y=2，即

x

2

+y=1，
∵x＞0，y＞0，则

y

x

＞0，

x

y

＞0，
∴

1

x

+

2

y

=（

1

x

+

2

y

）（

x

2

+y）=

x

y

+

y

x

+

5

2

≥2

y x • x y

+

5

2

=2+

5

2

=

9

2

，
当且仅当

x

y

=

y

x

，即x=y=

2

3

时取“=”，
∴

1

x

+

2

y

的最小值是

9

2

．
故答案为：

9

2

．

点评：本题考查了基本不等式在最值问题中的应用．在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断．运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或者是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值．本题解题的关键在于运用了“1”的代换的思想．属于中档题．